cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn
2017c-a-b/c=2017b-a-c/b=2017a-b-c/a tính A = (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 10 2018
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a+b-2017c}{c}=\frac{b+c-2017a}{a}=\frac{c+a-2017b}{b}\)
\(=\frac{a+b-2017c+b+c-2017a+c+a-2017b}{a+b+c}=\frac{-2015\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-2015\)
Do đó :
\(\frac{a+b-2017c}{c}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b=2c\) \(\left(1\right)\)
\(\frac{b+c-2017a}{a}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(b+c=2a\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c+a-2017b}{b}=-2015\)\(\Leftrightarrow\)\(c+a=2b\) \(\left(3\right)\)
Thay (1), (2) và (3) vào \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\frac{a+b}{a}.\frac{c+a}{c}.\frac{b+c}{b}\) ta được :
\(B=\frac{2c}{a}.\frac{2b}{c}.\frac{2a}{b}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Vậy \(B=8\)
Chúc bạn học tốt ~
LD
25 tháng 10 2019
Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.
\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự rồi cộng lại, ta được:
\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)
TA
1 tháng 8 2018
Ta có bđt \(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(P=2017\left(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\right)\)
Ta có: \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{1+b^2}.\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}}=a^2\)
Tương tự suy ra \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
\(\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{2017c-a-b}{c}=\frac{2017b-a-c}{b}=\frac{2017a-b-c}{a}=\frac{\left(2017c-a-b\right)+\left(2017b-a-c\right)+\left(2017a-b-c\right)}{a+b+c}=\frac{2015.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2015\)
\(\frac{2017c-a-b}{c}=2015\)\(\Rightarrow2017c-a-b=2015c\)\(\Rightarrow2c=a+b\)( 1 )
\(\frac{2017b-a-c}{b}=2015\)\(\Rightarrow2017b-a-c=2015b\)\(\Rightarrow2b=a+c\)( 2 )
\(\frac{2017a-b-c}{a}=2015\)\(\Rightarrow2017a-b-c=2015a\)\(\Rightarrow2a=b+c\)( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy A = \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right).\left(1+1\right).\left(1+1\right)=2^3=8\)